高等代数学习笔记
行列式
Laplace 定理
k 阶子式
对于 阶行列式 ，选定 行 和 列 ，它们的 个交点按照原先的排列顺序组成一个新的 阶行列式，叫做 的一个 阶子式，记作
划去这 行 列，余下元素构成一个 阶子式，叫做该 阶子式的余子式，它乘上符号 称作该 阶子式的代数余子式。
Laplace 定理
对于任一 阶行列式 ，取定 行 ， 等于这 行形成的所有子式与其代数余子式乘积的和，也即：
其中 、 分别为余子式的行号、列号（升序）。
证明： 欲证
其中第一个等号处的序列 为子式的列号 的一个排列，将枚举 再排列合并为一步：直接枚举 的一个 元排列 ，化至第二个等号；而对于序列 ，它枚举的是余子式的列号的排列。
已知
其中 表示将序列 、 拼接起来得到的新序列， 同理。
欲证两式相等，先证一个引理：
引理1：设 为两个长度为 的序列，序列中元素构成 的一个排列，那么
证明：设将 进行 次对换可以使其升序排列为 ，那么 ，同时有
考虑 的逆序数， 对于逆序数的贡献为 （比他小的数有 个，其中 个在它之前），因此
带回原式即可得到
证毕！
回到原命题，已知
拆开 得到
而 和 都是升序的，故 ，于是上式等于
这与式 是一致的，证毕！
推论
行列式可以分块计算，换句话说，
其中 、、 都是 阶方阵，那么我们将它按照前 行展开，子式不为零当且仅当恰取了前 列，于是根据 Laplace 定理，
线性空间
定义与性质
设 是一个 Abel 群， 是一个数域。定义 与 的一个代数运算数乘 ，运算结果仍然在 中。
令 ，，若满足：
- 对 的分配律
- 数乘对标量加法的分配律
- 数乘的结合律
- 标量乘法具有单位元，令 是 的单位元，则
则称代数系统 是 关于 构成1 上的一个线性空间，并称加法群中的零元为零向量，记作 。
任取 ，那么 构成一个子空间，我们将该子空间记作 ，于是可以将线性方程组看作如下形式：
于是我们其实就是在研究 向量 是否在这 个列向量 张成的子空间内。
线性相关与线性无关
对于一个向量组 ，若存在不全为 的数组 使得
则称这个向量组线性相关，否则称它线性无关。显然，只有零向量的向量组就是一个线性相关的向量组，任何含零向量的向量组必然线性相关。
不加证明地给出如下结论（证明平凡）：
定理 1：一个向量组线性无关当且仅当其中的任意一个向量不能被其余向量线性表出。
定理 2：若 可以被一个向量组表出，则表出方式唯一等价于该向量组线性无关。
定理 3：设向量组 线性无关，则向量 可以被该向量组表出当且仅当向量组 线性相关。
定理 4：任意一个极大线性无关向量组张成的空间与原向量组张成的空间相同。
定义：称两个线性空间相同当且仅当其可表出的向量相同，记作 ，其中 为两个线性空间。
向量组的秩
引理 1：设 ，且向量组 可以被向量组 线性表出，那么前者一定线性相关。
证明：只需证 有非零解，由已知，不妨设 ，于是原式化为
整理得
要使上式成立，仅需 对任意 成立，问题归结为齐次线性方程组
是否有非零解，由于方程组个数 小于未知数个数 ，所以这样的齐次线性方程组有无穷多组解，于是自然存在非零解，证毕！
推论 1：考虑引理 1 的逆否命题，向量组 可以被向量组 线性表出，若前者线性无关，则必然有 。
推论 2：等价的线性无关向量组中，向量的个数必然相同。
推论 3：一个向量组的所有极大线性无关向量组中的向量个数相同。
定义：由推论 3，我们可以得出秩的定义，一个向量组的秩就是其极大线性无关向量组中向量的个数，记作 。特别地，只含零向量的向量组的秩为 。
因此，向量组线性无关等价于其秩恰为其中向量个数，即 。
推论 4：若向量组 可被向量组 线性表出，则
推论 5：等价的向量组具有相等的秩。
线性空间的基
定义：对于线性空间 ，其有限子集 线性无关当且仅当向量组 线性无关；其无限子集 线性无关当且仅当 的所有有限子集均线性无关。
定义：设 是一个线性空间，若其子集 满足：
则称 是 的一个基。特别地，定义空基线性无关，于是只含零向量的线性空间的一个基为空基。
定理 5：任一数域上的任一线性空间都有一个基。
证明略去。
定义：若 存在一个基是有限子集，则称 是有限维的；若 存在一个基是无限子集，则称 是无限维的。
定理 6：若 是有限维的，则它的所有基中的向量个数相同。
推论 6：无限维的线性空间的基都是无限集。
定义：假设 是有限维的线性空间，称其任一基中所含的向量个数称为 的维数，记作 或 ，其中 为数域。若 是无限维的空间，则称 。特别地，只含零向量的线性空间的维数为 。
定义：设 ，则取 的一个基 ， 中的任一向量 都能被唯一地表示为 ，此时称 的坐标为 。