高等数学学习笔记

仅摘录部分内容

极限

习题 1.3 中出现了这样一道题：求极限

最初我的想法是将它化作

然后变成 ，但是这样似乎不太严谨，因为这个实际上把原式变成了

答案给的方法是夹逼准则，设 ，那么取充分大的 ，就有 ，取 次幂，有

两侧极限均为 ，于是原极限也为 ，这样就把刚才的想法做得更严谨一些了。

另一道题也是类似的，求 ，设 ，则原式等于 ，夹逼准则得到 。

同样在习题 1.3 中出现的一个有趣的题是证明

证明右侧的极限存在很容易，这里就不说明了。现在我们对 的定义是

首先，将这个东西展开，得到

显然

因此我们有

下面只需要证 ，而这只需证：对于固定的 ，总可取到一个 使得

还是用展开后的形式做，不妨设 ，则

两侧取极限，则有

因此

证毕！

Cauchy 命题

第一次习题课里出现了这样一个东西：

已知 ，求证

其实不难，只需要按照 语言做就行

要使

仅需使

由于 的极限为 ，所以存在一个 使得 均有

所以只需使

其中 是个常数，设为 ，则原式化为

整理得

这就证完了。

如果觉得还不够劲，可以再来一个：

设 ，

求证：

同样的，需要使

笔者自己做的时候，做法是添项去项，注意到

其中 是序列 的一个界，然后就做完了。

习题课讲评的时候，用了一个拆

由 Cauchy 命题，前者趋于 而后者趋于

Cauchy 收敛准则

定理：数列 收敛的充要条件是：，，使得当 时有 。

这个东西有一个等价形式：， 使得当 时对于任意 均有 。

然后来了一个题：

讨论 在不同取值时 的敛散性。

当 的时候是经典的调和级数， 的时候是著名的巴塞尔问题。 很典，不写了，考虑 的情形。

而当 时，

于是此时 收敛。

如果用 Cauchy 收敛准则，当 时，要求 ，然而左式始终大于 ，因此调和级数发散。

当 时，要求

即

仅需取 即可，因此当 时原数列收敛。

Stolz 公式

骇死我了，怎么习题课讲这么高级的东西，严肃学习了一下发现可以看作是离散形式的洛必达法则。

• 形式的 Stolz 公式

若数列 是严格单调递增的无穷大量，且

则

• 形式的 Stolz 公式

若数列 是严格单调递减的无穷小量， 是无穷小量，且

则

证明没学，先丢了。

然后来了一个题，设 ， 收敛于 ，求证：

考虑换成 Stolz 公式的形式，原式等于

设 ，，所求即为

这是一个 的形式，套 Stolz 公式，

然后就证完了。

第一章习题里有一题要证

笔者想了半天也没想到不用导数之类东西的做法，所以在这里记录一下。

其实它就是

还有一题是要证

先化成

笔者卡在了这里，实际上，设 ，上式就是

微分中值定理

Rolle 中值定理

设函数 在 连续，在 可导，且 ，那么存在 满足 。

证明考虑 中的极大（小）值点的导数，左导数和右导数分别 、，于是此处的导数必然为 。

Lagrange 中值定理

设函数 在 连续，在 可导，那么存在 满足 。

证明考虑设 ，于是 ，对 用 Rolle 中值定理得到：存在，使得 ，移项即可。

Darboux 中值定理

在 4.1 习题里出现的神秘东西。

设函数 在 可导，又设 且 ，则任给 ，都存在一点 使得 。

如果 是连续函数，那么直接对它介值定理就做完了，可是这个并没有被保证。

Darboux 中值定理实际上说明了：虽然可导函数必然连续，但是其导函数未必连续，但仍然满足介值定理。

证明：设 ，只需证存在 使得 ，而由于 连续，借用 Rolle 中值定理的思路，只需找到一个 上的极值点。

因 在 连续，因此存在 满足 是最小值，若能排除 的情况，证明就做完了。

由于 ，因此 ，，所以端点处必然不可能是最小值。证毕。

积分

设函数 在区间 上连续且严格递增，$ c(y)>0$，求

其中 是 的反函数，，

最开始没反应过来，画个图就可以发现答案是 。

推式子也很简单，分部积分一下

所以原式就等于