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高等数学学习笔记

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本文仅摘录一些概念，内容主要来自同济《高等数学》（第八版），更多题目会在别的文章中.

本文不会过多展示网络上可以广泛寻找到的证明内容.

极限，连续性

极限存在准则I（数列） 如果数列 满足

  • ，当 时有

那么数列 的极限存在且等于 .

极限存在准则I’（函数） 如果

  • 当 （或）时，

那么 存在且等于 .

准则II 单调有界数列必有极限

准则II’ 设函数 在点 的某个左邻域内单调且有界，则 在 的左极限必定存在.

Cauchy 极限存在准则 数列 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ，存在正整数 使得当 时有

同济《高等数学》中避开了对充分性的证明，事实上可以用 Bolzano-Weierstrass 定理‌证.

Bolzano-Weierstrass 定理‌ 有界数列必有一个收敛子列.

欲证Bolzano-Weierstrass 定理‌，仅需证一个叫Peak point lemma的引理.

Peak point lemma 任意数列都具有一个单调递增或单调递减的子列. 习题1-6.4：利用极限存在准则证明 (2) 考虑 ，(4) 考虑 .

连续 设函数 在点 的某一邻域内有定义，如果 那么就称函数 在点 连续.

上式还等价于 对于左（右）连续，将极限换为左（右）极限即可.

习题1-8.8： 是定义域为 的线性函数，且 在 处连续，则它在 上连续.

一致连续 设函数 在区间 上有定义.如果对于任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得对于区间 上的任意两点 ，当 时，有 ，那么称函数 在区间 上一致连续.

一致连续性定理 如果函数 在闭区间 上连续，那么它在该区间上一致连续.

习题1-10.9：在什么条件下， 内的连续函数 一致连续？

充要条件： 和 均存在

导数，微分

习题2-1.4：设函数

求 .

直接求导有点抽象，对数求导出来也要算一个极限，那就试试直接按定义做. ，于是

于是

微分 设函数 在某区间内有定义， 及 在这区间内，如果函数的增量 可表示为

其中 是不依赖于 的常数，那么称函数 在点 是可微的，而 叫做函数 在点 相应于自变量增量 的微分，记作 ，即 .

微分中值定理

Fermat 引理 设函数 在点 的某邻域 内有定义，并且在 处可导，如果对任意的 ，有 （或 ），那么 .

Rolle 定理 如果函数 满足

  • 在闭区间 上连续
  • 在开区间 上可导
  • 在区间端点处的函数值相等，即

那么在 内至少有一点 使得 .

Lagrange 中值定理 如果函数 满足

  • 在闭区间 连续
  • 在开区间 内可导

那么在 上至少有一点 满足 .

Cauchy 中值定理 如果函数 与 满足

  • 在闭区间 上连续
  • 在开区间 内可导
  • 对任一

那么在 内至少有一点 使等式

成立.

洛必达（L’Hospital）法则

定理1 设

  • 当 时，函数 和 都趋于 .
  • 在点 的某去心邻域内， 及 都存在且 .
  • 存在或为无穷大

则

定理2 设

  • 当 时，函数 及 都趋于 .
  • 当 时 与 都存在且 .
  • 存在或为无穷大.

则

Taylor 展开

Taylor 中值定理1 如果函数 在 处具有 阶导数，那么存在 的一个邻域，对于该邻域内的任一 ，有

其中

此为带Peano余项的 阶 Taylor 公式.

Taylor 中值定理2 如果函数 在 的某个邻域 内具有 阶导数，那么对任一 有

其中

这里 是 与 之间的某个值，此为带 Lagrange 余项的 阶 Taylor 公式.

习题3-3.10

  1. 求

考虑将原式化为

根据 Taylor 公式，，同时

于是原极限等于

习题3-3.11

若函数 在 上有二阶导数，且 ，还有 .证明：.

证明： 连续，故

并且

将 Taylor 展开，立刻得到

积分

不定积分

换元积分法

第一类换元法 设 具有原函数， 可导，则有换元公式

例如，要计算

作换元 ，则

原式化为

第二类换元法 设 是单调的可导函数，并且 .又设 具有原函数，则有换元公式

例如，在 时要计算不定积分

可以反设 ，其中 ，于是所求积分化为

并且我们有 ，只需积

这是容易的.

倒代换

例如，在 时要求

作换元 ，则 ，于是原积分式化为

该式又可以化为

分部积分法

根据 ，两侧积分得到

也即：

例如要求

令 ，则 ，原积分式就等于

这是容易的.

定积分

微积分基本公式

定积分中值定理 如果函数 在积分区间 上连续，那么在 上至少存在一个点 使下式成立：

微积分基本定理 如果函数 是连续函数 在区间 上的一个原函数，那么

微分方程

可分离变量的微分方程

解

分离变量，化为 ，两侧积分得到 .

也就是说，我们可以这样解决一部分可以写成 的微分方程.

齐次方程

如果一阶微分方程可化为

那么称它为齐次方程.

此时引入 ，则 ，回代便得到

于是就可以分离变量了.

一阶线性微分方程

方程

称作一阶线性微分方程，因为它关于未知函数 及其导数是一次方程.当且仅当 时称其是齐次的.

为了求出它的解，我们先将 替换为 求出其对应的齐次方程的解，它可以分离变量为

于是

得到

其中 .

现在求原非齐次线性方程的通解.将 替换为 的未知函数 ，则 .

于是

回代到最初的式子中得到

两侧积分，

因此

上式可改写为

等式右侧第一项是原非齐次线性方程对应的齐次线性方程的通解，第二项是一个特解.

伯努利方程

伯努利方程形如

只需将其化为线性的.先变形为

引入 ，那么

可降阶的高阶微分方程

对于形如 的求解是容易的，连着积分 次即可.

对于形如 的求解也很简单，设 ，求解两个关于 的一阶微分方程即可.

对于形如 的微分方程，同样考虑令 ，原方程变为

也即

而 就是 ，因此只需求解